Introdução
Se você chegou até aqui, é porque tem dúvida se o certo é independente ou independentemente e a resposta para essa pergunta é: as duas formas estão corretas.
Calma! Não precisa entrar em desespero, eu vou te explicar essa situação, mas, antes, precisamos entender a diferença entre duas categorias gramaticais: adjetivos e advérbios.
1.1. Adjetivos
Adjetivo é uma nomenclatura que se dá a determinadas palavras cuja função principal é alterar/modificar substantivos, indicando informações típicas de um substantivo: qualidade, defeito, característica física, sensorial, sonora etc.
1.2. Advérbios
Advérbio é também uma categoria de modificadores, mas, diferentemente dos adjetivos, eles são responsáveis por alterar o verbo, fornecendo informações típicas de verbo: tempo, modo, circunstância, causa etc.
2. Afinal, é indepente ou independentemente? Qual forma usar?
A forma utilizada vai depender de qual contexto a palavra está inserida: se se trata de uma característica, uma qualidade ou um defeito, então, o correto é independente; caso estejamos falando do modo como ocorreu uma ação, então utilizamos independentemente.
Ex1.: Em 1822, o Brasil se tornou uma nação independente.
(A palavra independente está modificando Brasil, que é um substantivo).
Ex2.: Independentemente de quem seja o escolhido, não poderíamos estar mais felizes com o resultado.
(Independentemente está modificando seja, que é uma conjugação do verbo ser).
Conclusão
Diante de tudo o que foi explicado, fica claro que ambas as palavras existem e estão corretas, mas são utilizadas em contextos diferentes. É correto afirmar que no uso cotidiano da língua é muito comum que haja um uso generalizado da forma independente (talvez por ser mais curta, o que agiliza a comunicação). Contudo, em contextos formais, procure distinguir o uso das duas palvras. Isso enriquece o seu vocabulário e mostra um certo domínio de língua.